Уроженец Рейнхилл, Аькурт начинал свою футбольную карьеру в любительском клубе Прескот Кейблс. Там-то его и заприметил Дон Уэлш, и в сентябре 1952 года талантливый 18-летний вингер перешел в Ливерпуль.

Дебьют Алана в новой команде состоялся лишь в феврале 1953 года, а уже через месяц он забил свой первый гол в матче против Сандерленда. В следующем сезоне Аькурт принял участие в 16 матчах, а Ливерпуль распрощался с Первым дивизионом, вылетев во Второй.

В первом сезоне во Втором Английском Дивизионе Алан сыграл 33 матча и уже воспринимался всеми как игрок стартового состава. Однако успехи Ливерпуля там были, мягко говоря, скромными. В 1956 Дона Уэлша сменил Фил Тейлор. А в 1959 году "Красных" возглавил Билл Шенкли. Годом ранее, в возрасте 24 лет 89 дней Алан Аькурт стал самым молодым игроком в истории Ливерпуля, который сыграл за клуб 200 матчей.

В том же 1958 году он был включен в состав сборной Англии, которая готовилась к участию в Чемпионате Мира в Швеции. На Скандинавском полуострове родоначальники футбола особых лавров не снискали, не сумев даже выйти из группы. Аькурт принял участие в трех матчах группового этапа мундиаля, правда отличиться ему в них не удалось. Уникальность этой истории заключается в том, что Алан на тот момент был игроком Второго Дивизиона!

В 1962 году Биллу Шекнли удалось вернуть Ливерпуль в элиту английского футбола. В первом сезоне после своего возвращения "Красные" заняли 8 место. Аькурт, который принял участие в 23-х матчах, своей игрой во многом поспособствовал такому результату команды. Однако уже тогда Алана начали беспокоить травмы. Через одну из них он пропустил весь сезон 1963/1964. По окончании того сезона на позицию Аькурта был приобретен Питер Томпсон.

В октябре 1964 года за плату в размере £ 4,500 Алан был продан в Транмер. Там он отыграл два сезона, после чего ему было предложено возглавить Норвич как играющему тренеру. Пришлось Алану потренировать и команды из Замбии и Новой Зеландии. После этого он занимал должность ассистента менеджера в ряде клубов низших дивизионов Туманного Альбиона.
Болельщики Ливерпуля никогда не забывали Алана Аькурта и то, что он сделал для Ливерпуля, определив его на 81 место в списке игроков, которые всколыхнули Коп.

В 2002 году Алан попал в список из 22 игроков в зале славы Ливерпуля.

14 декабря 2009 Алан АьКурт умер от рака. У него остались жена Альма, сын Стивен и дочь Сара.